「勉強時間が長い人ほど点数が高い」「気温が上がるとアイスが売れる」——2つのデータの関係の強さをひとつの数値で表せたら便利です。それを実現するのが相関係数です。-1から1という範囲の意味、共分散との関係、そして「相関があっても因果があるとは限らない」という重要な注意点まで、計算例つきで解説します。
📖 ひと言でいうと
相関係数とは、2つの変数の間にある直線的な関係の強さと向きを、-1から1までの数値で表す指標です。1に近いほど「一方が増えると他方も増える」正の相関が強く、-1に近いほど「一方が増えると他方が減る」負の相関が強く、0に近ければ直線的な関係はほとんどありません。
身長と体重のような「なんとなく一緒に動く」関係を、感覚ではなく数値で語れるようにする道具です。単位の異なるデータ同士でも共通のものさし(-1〜1)で比較できる点が、後述する共分散との大きな違いです。
🖼 1枚でわかる相関係数
📘 公式テキストの説明
公式テキストでは、発展形である「偏相関係数」の項で、通常の相関係数の性質とあわせて次のように説明されています。
偏相関係数とは、2つの変数間の相関を他の変数の影響を取り除いた状態で計算する指標です。通常の相関係数は、2つの変数間の関連性を単純に示しますが、そこに第三の変数が関与していると、誤った結論を導く可能性があります。偏相関係数は、この第三の変数などの影響を除去した上で、2つの変数がどの程度相関しているのかを評価します。例えば、ある調査で「年齢」「運動量」「血圧」という3つの変数があったとします。年齢が運動量と血圧の両方に影響を与える可能性があるため、運動量と血圧の間に見かけ上の相関が生じるかもしれません。この場合、年齢の影響を除去した状態で運動量と血圧の関係を見るために、偏相関係数を用います。これにより、年齢の影響を排除して、運動量と血圧の「純粋な」相関が明らかになります。偏相関係数の計算では、まず各変数から他の変数の影響を取り除くために「残差」を算出し、それらの残差同士の相関を計算します。また、偏相関係数の値は通常の相関係数と同様に-1から1の範囲を取り、1に近いほど強い正の相関、-1に近いほど強い負の相関を示し、0に近い場合はほとんど相関がないことを意味します。
ここから読み取れる通常の相関係数のポイントは、①2つの変数の関連性を示す、②-1から1の範囲を取り、1に近いほど強い正の相関・-1に近いほど強い負の相関・0付近はほぼ無相関、③第三の変数が関与すると見かけの相関(疑似相関)が生じうる——の3点です。この弱点を補うのが引用にある偏相関係数です。
🔍 しっかり理解する
共分散を標準化したものが相関係数
2変数が一緒に動く傾向は共分散でも測れますが、共分散は単位の影響を受けるため「大きいから強い関係」とは言えません(cmで測るかmで測るかで値が変わってしまいます)。そこで共分散を2つの変数それぞれの標準偏差の積で割り、単位の影響を打ち消したものが相関係数です。
相関係数 r = XとYの共分散 ÷ (Xの標準偏差 × Yの標準偏差)
この標準化のおかげで、rは必ず-1から1の間に収まり、どんなデータ同士でも強さを比較できます。目安として、|r|が0.7以上なら強い相関、0.4〜0.7で中程度、0.2以下ならほとんど相関なし、と読むことが多いです(分野により基準は異なります)。
実際に計算してみる
勉強時間X = (1, 2, 3, 4, 5)時間、テストの点Y = (50, 60, 70, 65, 80)点の5人分のデータで計算します。
- Xの平均は3、Yの平均は65
- 偏差の積の和 = (-2)(-15) + (-1)(-5) + 0×5 + 1×0 + 2×15 = 30 + 5 + 0 + 0 + 30 = 65 → 共分散 = 65 ÷ 5 = 13
- Xの分散 = (4+1+0+1+4) ÷ 5 = 2 → 標準偏差 ≒ 1.41
- Yの分散 = (225+25+25+0+225) ÷ 5 = 100 → 標準偏差 = 10
- r = 13 ÷ (1.41 × 10) ≒ 0.92
r ≒ 0.92なので、勉強時間と点数には強い正の相関がある、と読めます。
相関 ≠ 因果——疑似相関の罠
- 2つの変数が一緒に動く「傾向」
- 相関係数で数値化できる
- データを集めれば機械的に計算可能
- 一方が他方を「引き起こす」関係
- 相関係数だけでは判断できない
- 実験計画や因果推論の手法が必要
相関係数が高くても、それは因果関係の証明にはなりません。有名な例が「アイスクリームの売上と水難事故の件数」で、両者には正の相関がありますが、どちらかが原因なのではなく「気温」という第三の変数(交絡因子)が両方を動かしています。これが疑似相関で、公式テキストの引用が示すように、第三の変数の影響を取り除いて相関を見たいときに偏相関係数を使います。
💡 具体例で考える
機械学習の特徴量選択では、相関係数がデータ理解の第一歩として使われます。住宅価格を予測するとき、「床面積と価格の相関は0.7、築年数と価格の相関は-0.5」のように各特徴量と目的変数の相関を一覧すれば、有望な特徴量の当たりがつけられます。また特徴量同士の相関が極端に高い場合(多重共線性)、線形回帰モデルが不安定になるため、片方を除くといった対処の判断材料にもなります。
ポートフォリオ運用でも相関係数は重要です。値動きの相関が低い(あるいは負の)資産を組み合わせると、一方が下がっても他方が下がりにくいため、全体のリスクを抑えられます。「相関の低い資産への分散投資」は相関係数の実務応用の代表例です。
⚠️ よくある誤解・紛らわしい用語
- 「相関係数0 = 無関係」ではない — 相関係数が測るのは直線的な関係だけです。U字型のような曲線的な関係では、強く関係していても相関係数が0付近になることがあります。
- 「相関が強い = 因果がある」ではない — 疑似相関(第三の変数)や偶然の一致の可能性があります。試験で最も問われる注意点です。
- 共分散との違い — 共分散は単位に依存し値の範囲も無制限。相関係数は標準偏差で割って標準化してあるため-1〜1に収まり比較可能です。
- 偏相関係数との違い — 通常の相関係数は2変数だけを見た関連の強さ、偏相関係数は第三の変数の影響を除去した後の関連の強さです。
📝 試験でのポイント
- 「-1から1の値を取り、2変数の直線的な関係の強さを表す指標」という定義から相関係数を選ぶ問題が基本形です。
- 「相関係数 = 共分散 ÷ (両変数の標準偏差の積)」という計算関係は、共分散・標準偏差とセットで問われます。
- 「相関関係は因果関係を意味しない」を試す事例問題が頻出想定です。交絡因子・疑似相関という用語と結びつけましょう。
- 散布図の見た目(右上がり・右下がり・ばらばら)と相関係数の符号・大きさを対応づける問題も想定されます。
📚 まとめ
- 相関係数は2変数の直線的な関係の強さと向きを-1〜1で表す指標。
- 共分散を両変数の標準偏差の積で割って標準化したもので、単位に依存せず比較できる。
- 測れるのは直線的な関係のみで、相関係数0でも無関係とは限らない。
- 相関があっても因果があるとは限らない——疑似相関と偏相関係数をセットで押さえておきましょう。
