【G検定】偏相関係数とは？第三の変数の影響を除いた「真の相関」をわかりやすく解説

「アイスの売上と水難事故は相関する」——でも本当の原因は気温です。このような「見かけの相関」にだまされないための道具が偏相関係数です。疑似相関とセットで理解すると、統計分野の中でも得点しやすいキーワードになります。

📖 ひと言でいうと

偏相関係数とは、第三の変数の影響を取り除いたうえで、2つの変数の間の「純粋な」相関の強さを測る指標です。

健康診断の例で言えば、「運動量と血圧に相関がある」ように見えても、実は年齢が両方に影響しているだけかもしれません。年齢の影響を差し引いて「同じ年齢どうしで比べたら、運動量と血圧は本当に関係があるのか」を調べるのが偏相関係数です。

🖼 1枚でわかる偏相関係数

📘 公式テキストの説明

偏相関係数とは、2つの変数間の相関を他の変数の影響を取り除いた状態で計算する指標です。通常の相関係数は、2つの変数間の関連性を単純に示しますが、そこに第三の変数が関与していると、誤った結論を導く可能性があります。偏相関係数は、この第三の変数などの影響を除去した上で、2つの変数がどの程度相関しているのかを評価します。例えば、ある調査で「年齢」「運動量」「血圧」という3つの変数があったとします。年齢が運動量と血圧の両方に影響を与える可能性があるため、運動量と血圧の間に見かけ上の相関が生じるかもしれません。この場合、年齢の影響を除去した状態で運動量と血圧の関係を見るために、偏相関係数を用います。これにより、年齢の影響を排除して、運動量と血圧の「純粋な」相関が明らかになります。偏相関係数の計算では、まず各変数から他の変数の影響を取り除くために「残差」を算出し、それらの残差同士の相関を計算します。また、偏相関係数の値は通常の相関係数と同様に-1から1の範囲を取り、1に近いほど強い正の相関、-1に近いほど強い負の相関を示し、0に近い場合はほとんど相関がないことを意味します。

公式テキストの核心は「残差どうしの相関」という計算の考え方です。運動量を年齢で予測したときの予測しきれない部分(残差)と、血圧を年齢で予測したときの残差。この2つの残差の相関をとれば、年齢で説明できる部分をあらかじめ取り除いた"純粋な関係"だけが残る、という仕組みです。

🔍 しっかり理解する

なぜ通常の相関係数だけでは危険なのか

2つの変数XとYの両方に影響を与える第三の変数Z(交絡変数と呼ばれます)が存在すると、XとYに直接の関係がなくても相関係数が高く出てしまいます。これが疑似相関です。有名な例が「アイスクリームの売上と水難事故の件数」で、両者は正の相関を示しますが、真の原因は「気温」です。暑いからアイスが売れ、暑いから泳ぐ人が増えて事故も増える——アイスを売るのをやめても事故は減りません。

偏相関係数を求める流れ

3変数の場合、偏相関係数は3つの相関係数(XとY、XとZ、YとZ)から直接計算することもできます。式は次のとおりです(rはそれぞれの相関係数)。

偏相関係数 = (r_XY − r_XZ × r_YZ) ÷ √((1 − r_XZの2乗) × (1 − r_YZの2乗))

数値例で「相関が消える」のを見る

XとYの相関係数が 0.8 とかなり高いケースを考えます。ただし、Zとの相関が r_XZ = 0.9、r_YZ = 0.9 と、どちらもZに強く依存しているとします。

見かけ上0.8もあった相関が、Zの影響を除くとほぼ0になりました。「相関の正体はほぼすべてZだった」ことが数値で確認できます。逆に、Zの影響を除いても偏相関係数が高いままなら、XとYの間に直接的な関連がある可能性が高いと判断できます。

💡 具体例で考える

機械学習の特徴量選択の場面を考えます。住宅価格の予測で「部屋数」と「延床面積」がどちらも価格と相関していたとします。しかし部屋数と延床面積は互いに強く相関しているため、片方の効果はもう片方の"影"かもしれません。延床面積の影響を除いた「部屋数と価格の偏相関」を見れば、部屋数を特徴量として追加する独自の価値があるかを判断する材料になります。

また、医療データ分析では「コーヒー摂取量と病気の発症率」のような関係を調べる際、喫煙・年齢などの交絡変数の影響を取り除いて評価することが不可欠です。偏相関係数は、このような「他の要因をそろえて比べる」分析の入り口になる考え方です。なお、取り除く変数は1つに限らず、残差を計算する際に複数の変数の影響をまとめて除去することもできます。

⚠️ よくある誤解・紛らわしい用語

📝 試験でのポイント

📚 まとめ